本篇中，我们会给出定价的模型。

假设

1. 我们假定我们必须等到价格到达边界后才能退出流动性提供。
2. 此外我们还假定价格服从几何布朗运动，波动率在一段时间内都不会变化。
3. 交易量也不会发生变化，且都是以 U 计价。
4. 手续费也只会在到期时收取。

Notion

我们定义公式中的 都是一种百分比含义数值，即定义：

 为 Uniswap V3 建仓时的标的价格
 为 Uniswap V3 建仓时的 Ranger Order 上界价格
 为 Uniswap V3 建仓时的 Ranger Order 下界价格
 为对 Uniswap V3 的 payoff 进行估值时刻的标的价格

这个公式表明在初始投入 $1 的资产，在  时刻  退出时，本金部分的价值。

则存在：

 为贴现率
 为 GBM 运动的漂移率

position 的欧式定价

其中 为在价格在 H 退出时的价值。带入 S=H 到 LP 的公式里可以得到。 而 可以从上一篇的结论中拿到。 带入可得

手续费 V1

我们假设手续费回报率不变且只会在最后进行提取。很显然手续费应当是 三个变量的乘积。收取的时长，流动性，和手续费回报率。我们需要做的则是对其贴现。

进而

其中

「欧式」定价

我们只需要拼接公式即可，公式会非常长，但是大家可以自行代换，在本系列结束时也会给出对应的代码。

我们已经得到了一个可用的定价公式了，不过我们需要回顾一下我们的「条款」。

1. 我们要求 LP 只能在边界退出提供流动性
2. 手续费也只能在边界退出

这两个条款和现实是有区别的，流动性提供者可以在任何时间退出提供流动性和提取手续费。这会使得我们的定价是低估的。这也就是我们的本节的标题欧式的意思。自然我们需要一个美式的定价公式，让流动性提供者能够任意时间退出。

不过在此之前，我们可以简单地讨论一下手续费的问题。

连续手续费

的确我们不能假设 LP 的手续费提取策略，那我们退而求其次，尝试计算一下上界。即手续费是连续收取的，下界是我们的退出时提取。 我们可以如下计算

美式如何定价

永续美式是没有到期时间的衍生品。但其实处理起来非常容易，在金融随机分析 卷二里有讨论过永续美式期权的定价。两者的思路也非常一致。

* 推荐先阅读: https://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2016/analisis_cuantitativo_en_finanzas/Steve_ShreveStochastic_Calculus_for_Finance_II.pdf 中的第八章 Perpetual American Put

我们简单看一下 shreve 永续美式期权定价的思路。

我们要考虑的第一件事情是如果有最佳行权策略，那么该策略只和价格有关，和 t 无关。这也不难推理，由于没有到期时间，不论在哪一天你的定价应当是一样的。

那么我们可以建模为

那么这个 是多少呢？那么他既然是最优的，显然会使得期权价格最大化，我们通过求导找出 继而带入到定价公式里即可。

那么对于 uniswap v3 问题就非常好解决了。同样的，我们需要构造最佳策略，在价格到达 时退出，这和提供流动性的 LH 有如下关系：

对于这个退出策略，我们找到最佳的， 使得 V 最大，然后带入到定价公式里即可。

即

这里需要补充一下，函数都是连续的，当然是有导数的。但是显然再带入回去，符号计算量已经过大了。但是不妨碍我们使用传统最优化的方法做数值计算。

这里我们要抢到最优化的目标不是 而是，这意味着手续费模型不同，会导致 也不一样。

在下一篇中，我们会进行一些数值比较，如何利用定价公式，和希腊值。

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