距离我们上一篇已经过去很久了，原因是我们为此写了一篇论文 。当然论文还需要补充一些内容和实验，但是其终点和本系列是一致的。后续我们会补充更多证明细节和金融直觉来帮助大家理解。

回到本篇。我们要证明下面的结论，这也是本系列中数学最多的一部分，需要用到最优停时定理和拉普拉斯变换。

and

其中，

One boundary stopping time

我们首先考虑一个停时:

对于这个停时，我们要考虑下面的指数鞅：

根据鞅停时定理 ，由 可得：

令 ，即

我们来考察双边停时问题。我们定义双边的停时，即：

随机过程 首次到达 a 或者 b 停时。那么我们自然有累积密度函数和概率密度函数：

进一步，我们还能细分出分别停在 ab 对应的停时：

其中 代表停在了上界，也就是 b。

laplace 与卷积

The Laplace transform is defined (for suitable functions ) by the integral

对于卷积我们有

其变换后的结果为 。由于累计密度函数使用了大写，我们这里使用 代表 。难处理的卷积经过 laplace 变换可以变成乘法，这对我们后面的推导帮助非常大。

CKE

对于一个 Markov 随机过程 ，定义状态转移概率

我们从单边停时出发，对于 :

我们实际上利用停时对区间 做了划分。恰好这也是卷积形式。我们后续不会用到这个公式，只是作为一个熟悉符号的练习。接下来我们对双边停时问题也做类似的事情，我们发现了如下的等式：

第一个等式实际上在描述：随机过程到 的事件， 可以分解为两种情况:

1. 没有到 a 之前先到 b
2. 和先到 a，再到 b

积分我们不好处理，但是对于 laplace 变换则非常熟悉，我们获得了新一组等式

这个方程组里有哪些是我们已知的内容呢?

指的是从 出发，到 b 的单边停时的 laplace 变换。我们只需要把 情况带入即可。。

那么 ，指的是从 a 出发，到达 b 的停时，简单的平移一下，等价于从 0 出发到 (b-a) 的停时的 lpalace 变换 。

第二的等式也就不难理解，无非是要带入 的情况。这两个等式里只有两个未知数了。求解方程组即可。

这里我们略过繁琐的计算代换，最终得到了如下的结果。

我们距离结果只剩一个问题了，我们是要求什么来着？

这就是 ，我们只需要将 无风险利率 替换成 即可。

同样的

下回预告

我们凑齐了数学工具了。开始定价吧。

Reference

[1] 论文: https://arxiv.org/pdf/2411.12375

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