书接上回，关于《用多因子模型构建强大的加密资产投资组合》系列文章中，我们已经发布了三篇：《理论基础篇》、《数据预处理篇》、《因子有效性检验篇》。

前三篇分别解释了多因子策略的理论与单因子测试的步骤。

一、因子相关性检验的原因：多重共线性

我们通过单因子测试部分筛选出一批有效因子，但以上因子不能直接入库。因子本身可以根据具体的经济含义进行大类划分，同类型的因子间存在较强的相关性，若不经相关性筛选直接入库，根据不同因子进行多元线性回归求预期收益率时，会出现多重共线性问题。计量经济学中，多重共线性是指回归模型中的一些或全部解释变量存在“完全”或准确的线性关系（各变量间高度相关）。

因此，有效因子筛选出后，首先需要根据大类对因子的相关性进行 T 检验，对于相关性较高的因子，要么舍弃显著性较低的因子，要么进行因子合成。

多重共线性的数学解释如下：

$$\(Y = β₁ + β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + ... + βₖXₖᵢ + μᵢ , i = 1,2,...,n\)$$

会存在两种情况：

1.$\(C₂X₂ᵢ + C₃X₃ᵢ + … + CₖXₖᵢ = 常数向量\)\(，\)\( Cᵢ\)\( 不全为\)\(0→Xᵢ\)$ 间存在完全共线

2.$\(C₂X₂ᵢ + C₃X₃ᵢ + … + CₖXₖᵢ + Vᵢ = 常数向量\)\(，\)\(Cᵢ\)\( 不全为 0，\)\(Vᵢ\)\( 为随机误差项，\)\(→Xᵢ\)$ 间存在完全共线

多重共线性导致的后果：

1.完全共线性下参数估计量不存在

2.近似共线性下 OLS 估计量非有效

我们首先定义方差膨胀因子（variance- inflating factor, VIF）为 $\(VIF=1 / (1 - rᵢⱼ)\)$ ，指参数估计量的方差由于出现多重共线性而膨胀，随着相关系数增加，VIF 显著增加。

以二元线性模型为例：$\(Y = β₁ + β₂X₂ᵢ + β₃X₃ᵢ + μᵢ\)$

$$\(var(β₂) = (σ²/ΣX²₂)·(1/(1-r²₂₃))\)$$

$$\( 相关系数的平方和 r²₂₃=(ΣX₂ᵢX₃ᵢ)²/ ΣX²₂ᵢΣX²₃ᵢ ≤ 1\)$$

$$\(1/(1-r²₂₃)≥ 1\)$$

• 完全不共线（完全不相关）：$\(r²₂₃ = 0 → var(β₂) = σ²/ΣX²₂\)$

• 近似共线：$\(0<r²₂₃<1 → var(β₂) = (σ²/ΣX²₂)·(1/(1-r²₂₃)) > σ²/ΣX²₂，越接近 1，方差↑\)$

• 完全共线：$\(r²₂₃ = 1 → var(β₂) = ∞，方差无限大\)$

3.参数估计量经济含义不合理

4.变量的显著性检验（t 检验）失去意义

5.模型的预测功能失效：通过多元线性模型拟合出的预测收益率极其不准确，模型失效。

二、步骤一：同类型因子的相关性检验

检验新求出的因子与已入库因子的相关性。通常来说，有两类数据求相关性：

1.根据所有 token 在回测期间的因子值求相关

2.根据所有 token 在回测期间的因子超额收益值求相关

$$\( 超额收益 = 多头组收益 - 基准收益，收益 = ln(closeₜ / closeₜ ₋₁)\)$$

我们所求的每个因子对 token 的收益率都有一定的贡献和解释能力。进行相关性检验 **，是为了找到对策略收益有不同解释和贡献的因子，策略的最终目的是收益 **。如果两个因子对收益的刻画是相同的，即使两个因子值存在很大差别也无意义。因此，我们并不是想找到因子值本身差异大的因子，而是想找到因子对收益刻画不同的因子，所以最终选择了用因子超额收益值求相关。

我们的策略是日频，所以按回测区间的日期计算因子超额收益之间的相关系数矩阵

编程求解与库内相关最高的前 n 个因子：

 def get_n_max_corr(self, factors, n=1):        factors_excess = self.get_excess_returns(factors)        save_factor_excess = self.get_excess_return(self.factor_value, self.start_date, self.end_date)        if len(factors_excess) < 1:            return factor_excess, 1.0, None        factors_excess[self.factor_name] = factor_excess['excess_return']        factors_excess = pd.concat(factors_excess, axis=1)        factors_excess.columns = factors_excess.columns.levels[0]        # get corr matrix        factor_corr = factors_excess.corr()        factor_corr_df = factor_corr.abs().loc[self.factor_name]        max_corr_score = factor_corr_df.sort_values(ascending=False).iloc[1:].head(n)                return save_factor_excess, factor_corr_df, max_corr_score

三、步骤二：因子取舍、因子合成

对于相关性较高的因子集合，可以采取两种方式处理：

（1）因子取舍

根据因子本身的 ICIR 值、收益率、换手率、Sharpe 比率，挑选某维度下最有效的因子进行保留，删除其他因子。

（2）因子合成

对因子集合中的因子进行合成，截面上尽可能多的保留有效信息

$$\(F = w1 * f1 + w2*f2+...+wn*fn，F 为最终的合成因子，f 为需要进行合成的因子\)$$

假设当前有 3 个待处理的因子矩阵：

synthesis = pd.concat([a,b,c],axis = 1) synthesisa	b	cBTC.BN	0.184865	-0.013253	-0.001557ETH.BN	0.185691	0.022708	0.031793BNB.BN	0.242072	-0.180952	-0.067430LTC.BN	0.275923	-0.125712	-0.049596AAVE.BN	0.204443	-0.000819	-0.006550...	...	...	...SOC.BN	0.231638	-0.095946	-0.049495AVAX.BN	0.204714	-0.079707	-0.041806DAO.BN	0.194990	0.022095	-0.011764ETC.BN	0.184236	-0.021909	-0.013325TRX.BN	0.175118	-0.055077	-0.039513

2.1 等权加权

各因子权重相等 $\(（ w = 1/ 因子个数 ）\)$，综合因子=各因子值加总求平均。

Eg.动量类因子，一个月收益率、两个月收益率、三个月收益率、六个月收益率、十二个月收益率，这六个因子的因子载荷各占 1/6 的权重，合成新的动量因子载荷，然后再重新进行标准化处理。

synthesis1 = synthesis.mean(axis=1) # 按行求均值

2.2 历史 IC 加权、历史 ICIR、历史收益加权

用回测期的 IC 值（ICIR 值、历史收益值）对因子进行加权。过去有很多期，每一期都有一个 IC 值，所以用它们的均值作为因子的权重。通常使用回测期 IC 的均值（算数平均值）作为权重。

# 权重归一化（后文中的因子加权方式也基本都需要进行权重归一化）w_IC = ic.mean() / ic.mean().sum()w_ICIR = icir.mean() / icir.mean().sum()w_Ret = Return.mean() / Return.mean().sum()synthesis2 = (synthesis * w_IC).sum(axis=1)synthesis2 = (synthesis * w_ICIR).sum(axis=1)synthesis2 = (synthesis * w_Ret).sum(axis=1)

2.3 历史 IC 半衰加权、历史 ICIR 半衰加权

2.1 与 2.2 都是计算算数平均值，回测期的每一次 IC、ICIR 对于因子的作用被默认为相同。

但现实中，回测期的每一期对于当期的影响程度不完全相同，存在时间上的衰减。越接近当前期的时期，影响越大，越远影响越小。在此原理，求 IC 权重前首先定义一个半衰权重，距离当期越近的权重值越大、越远权重越小。

半衰权重数学推导：

# 半衰权重 def Decay(H,T):    t = np.arange(T+1)[1:]    wt = 2**((t-T-1)/H) #半衰权重    decay = wt/wt.sum() #归一化    return decay  # 历史 IC 半衰加权 w_bs = Decay(6,12) # 假设 T=12，H=6ic_bs = ic.mul(w_bs,axis=0)w = ic_bs.mean()/ic.mean().sum()synthesis3 = (synthesis * w).sum(axis=1)# 历史 ICIR 半衰加权# 历史 ICIR 半衰加权在历史 IC 半衰加权的基础上，除以 IC 值的标准差。w_bs = bs(6,12)ic_bs = ic.mul(w_bs,axis=0)ir_bs = ic_bs.mean()/ic.std()w = ir_bs.mean()/ir_bs.mean().sum()synthesis3 = (synthesis * w).sum(axis=1)

2.4 最大化 ICIR 加权

通过求解方程，计算最优因子权重 w 使得 ICIR 最大化

协方差矩阵的估计问题：协方差矩阵用于衡量不同资产之间的关联性。统计学中常以样本协方差矩阵代替总体协方差矩阵，但在样本量不足时，样本协方差矩阵与总体协方差矩阵的差异会很大。所以有人提出了压缩估计的方法，原理是使估计协方差矩阵与实际协方差矩阵之间的均方误差最小

方式：

1.样本协方差矩阵

# 最大化 ICIR 加权 ( 样本协方差 )ic_cov = np.array(ic.cov())inv_ic_cov = np.linalg.inv(ic_cov)ic_vector = np.mat(ic.mean())w = inv_ic_cov * ic_vector.Tw = w / w.sum() synthesis4 = (synthesis * pd.DataFrame(w,index=synthesis.columns)[0]).sum(axis=1)

2.Ledoit-Wolf 收缩：引入一个缩小系数，将原始的协方差矩阵与单位矩阵进行混合，以减少噪音的影响。

# 最大化 ICIR 加权 (Ledoit-Wolf 压缩估计协方差 )from sklearn.covariance import LedoitWolfmodel=LedoitWolf()model.fit(ic)ic_cov_lw = model.covariance_inv_ic_cov = np.linalg.inv(ic_cov_lw)ic_vector = np.mat(ic.mean())w = inv_ic_cov*ic_vector.Tw = w/w.sum()synthesis4 = (synthesis * pd.DataFrame(w,index=synthesis.columns)[0]).sum(axis=1)

3.Oracle 近似收缩：对 Ledoit-Wolf 收缩的改进，目标是通过对协方差矩阵进行调整，从而在样本大小较小的情况下更准确地估计真实的协方差矩阵。（编程实现与 Ledoit-Wolf 收缩同理）

2.5 主成分分析 PCA

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种用于降维和提取数据主要特征的统计方法。其目标是通过线性变换，将原始数据映射到一个新的坐标系，使得数据在新坐标系下的方差最大化。

具体而言，PCA 首先找到数据中的主成分，也就是数据中方差最大的方向。然后，它找到与第一个主成分正交（无关）且具有最大方差的第二个主成分。这个过程一直重复，直到找到数据中所有的主成分。

# 主成分分析 (PCA)from sklearn.decomposition import PCAmodel1 = PCA(n_components=1)model1.fit(f)w=model1.components_w=w/w.sum()weighted_factor=(f*pd.DataFrame(w,columns=f.columns).iloc[0]).sum(axis=1)

关于 LUCIDA & FALCON

Lucida （https://www.lucida.fund/ ）是行业领先的量化对冲基金，在 2018 年 4 月进入 Crypto 市场，主要交易 CTA / 统计套利 / 期权波动率套利等策略，现管理规模 3000 万美元。

Falcon （https://falcon.lucida.fund /）是新一代的 Web3 投资基础设施，它基于多因子模型，帮助用户“选”、“买”、“管”、“卖”加密资产。Falcon 在 2022 年 6 月由 Lucida 所孵化。

更多内容可访问 https://linktr.ee/lucida_and_falcon

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